Exercise : 1.1-Maths-Class X-NCERT SOLUTIONS - Real Numbers (অনুশীলনীঃ 1.1 - বাস্তৱ সংখ্যা- দশম শ্ৰেণী- সাধাৰণ গণিত )

                                    অনুশীলনী 1.1  ( পৃষ্টা  নং  8 )

Assamese Medium Solution:

1.ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  গ.সা.উ.   উলিওৱা-

(i)     135 আৰু 225      

(ii)  196  আৰু  38220 

(iii)  867 আৰু   255 

(iv)  272 আৰু 1032 

(v)  405 আৰু 2520 

(vi) 155 আৰু 1385 

(vii) 384 আৰু 1296 

(viii)1848 আৰু 4058

সমাধান : ( i) 135 আৰু 225  

যিহেতু ,  225 >  135 

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

225 = 135 ×  1  +  90

135 =   90  ×  1  + 45

90 =  45   ×   2  +  0  

যিহেতু , তৃতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 135, 225) =  45

Since 225> 135 

We apply the division algorithm:

225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0

Since the remainder becomes 0, the last non-zero remainder is the HCF.

∴ HCF(135, 225) = 45

(ii)   196  আৰু  38220            

যিহেতু ,  38220 >  196 

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

38220 = 196 ×  195  +  0∴

যিহেতু , প্ৰথম  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 196, 38220) =  196

(iii)  867 আৰু   255

যিহেতু ,  867 >  255 

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

867 = 255 ×  3  +  102

255 =   102  ×  2  + 51

102 =  51   ×   2  +  0  

যিহেতু , তৃতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 255, 867) =  51

(iv)  272 আৰু 1032 

যিহেতু , 1032 > 272

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

1032 = 272 x 3 + 216

272 = 216 x 1 + 56

216 = 56 x 3 + 48

56 = 48 x 1 + 8

48 = 8 x 6 + 0 

যিহেতু , পঞ্চম   সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 272, 1032) =  8

(v)  405 আৰু 2520 

যিহেতু , 2520 > 405

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

2520 =  405 x 6 + 90

405 = 90 x 4 + 45 

90 = 45 x 2 + 0

যিহেতু , তৃতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 405, 2520) =  45

(vi) 155 আৰু 1385

  

যিহেতু , 1385 > 155

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

1385 =  155 x 8 + 145

155 = 145 x 1 + 10 

145 = 10 x 14 + 5

10 = 5 x 2 + 0

যিহেতু , চতুৰ্থ  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 155, 1385) =  5

(vii) 384 আৰু 1296

  

যিহেতু , 1296 > 384

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

1296 =  384 x 3 + 144

384 = 144 x 2 + 96 

144 = 96 x 1 + 48

96 = 48 x 2 + 0

যিহেতু , চতুৰ্থ  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 384, 1296) =  48

(viii) 1848 আৰু 4058

সমাধান: যিহেতু , 4058 > 1848

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

4058 =  1848 x 2 + 362

1848 = 362 x 5 + 38

362 = 38 x 9 + 20

38 = 20 x 1 + 18

20 = 18 x 1 + 2

18 = 2 x 9 + 0 

যিহেতু , ষষ্ঠতম  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 1848, 4058) =  2

(2)  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অযুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যাই  6q  + 1, বা 6q +3 ,

বা  6q  +  5  আৰ্হিৰ , য’ত  q  এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷

সমাধান : ধৰাহ’ল  , a  যিকোনো  যুগাত্মক  অযুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b= 6   .

এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

a  =  6q + r  ,  য’ত  0 ≤ r < 6   ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷

∴  r =  0, 1 , 2, 3, 4, 5

এতিয়া , a = 6q + 0 =  6q   

বা a = 6q +1    ,

বা    a = 6q  +  2  ,

বা   a= 6q  +  3  ,

বা   a=  6q  +  4  ,

বা   a=  6q  +  5 

ইয়াত a=6q ,  6q+2  ,  6q  +4 , 2 ৰে বিভাজ্য    য’ত  a  আৰু  q  হৈছে  ক্ৰমে  অযুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা  আৰু  ভাগফল  ৷ কিন্তু  2  ৰে  বিভাজ্য  সংখ্যাবোৰ  যুগ্ম  অখণ্ড  সংখ্যা হয় ৷

গতিকে , কোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যাৰ আৰ্হি  6q +1  ,  বা 6q+3 , বা  6q + 5  আৰ্হিৰ  য’ত q  এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷  প্ৰমাণিত

(3) 616  সদস্যৰ  এটা  সৈন্যবাহিনীৰ  গোটে  32  জনীয়া  এটা  সেনাদলৰ  পিছে  পিছে  কদম-খোজ কাঢ়ি  যাবলগীয়া  হ’ল ৷ দুয়োটা  দলেই  একে  সমান  সংখ্যক স্তম্ভত  কদম-খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  হ’ল ৷ তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা  কি  হ’ব ?

সমাধান : যিহেতু,  দুয়োটা  দলেই  একে  সমান  সংখ্যক স্তম্ভত  কদম-খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  হ’ল ৷ গতিকে,  তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা  নিৰ্ণয় কৰিবলৈ  গ.সা.উ.  উলিয়াব  লাগিব ৷

ইয়াত , 616 > 32

∴    616 =  32  ×  19  +  8 

32  =  8  ×  4  +   0 

যিহেতু , দ্ধিতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 616, 32 ) =  8

গতিকে,  তেওঁলোকে  খোজ  কাঢ়িবলগীয়া  স্তম্ভৰ  উচ্চতম  সংখ্যা   8  

(4) ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যাৰ  বৰ্গই  হয়  3m  নাইবা 3m  + 1  আৰ্হিৰ,  য’ত  m  এটা  কোনোবা  অখণ্ড  সংখ্যা  ৷  [ ইংগিত  : ধৰা  x   এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা ৷ তেন্তে  ইয়াৰ  আৰ্হি  হ’ব  3q,  3q+1   বা  3q +2  .  এতিয়া  ইহঁতৰ  প্ৰতিটোকে  বৰ্গ  কৰা  আৰু  দেখুওৱা  যে  সিহঁতক  3m  বা  3m+1  আৰ্হিত  লিখিব  পাৰি  ৷

সমাধান  :  ধৰাহ’ল , x   এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b=6   

এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাওঁ –

x= 3q  +  r   ,   য’ত  0 ≤ r < 3  ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা   

∴   r =  0 , 1 , 2

এতিয়া  ,  x=3q +  0  =  3q 

বা x = 3q  +  1 

বা x = 3q +  2 

গতিকে , যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গৰ  প্ৰকাশ ৰাশি হ’ব –

(x)²=  (3q)²

              ⁼ 9q²

                ⁼   3 ( 3q²)

          = 3m  , য’ত m= 3q²

(x)² =(3q +1)²

       = (3q)²  + 2 .3q. 1. +  (1)²

   = 9q²  +  6q  +  1

       =   3(3q² + 2q)  +  1

       =  3m  +  1  ,   য’ত  m =  3q²  +  1

আৰু  (x)² = ( 3q  + 2 )²

                    =  (3q) ² +  2. 3q  . 2  +   (2) ²

                    =  9q²  +  12 q  +  4

                    = 9q²  +  12q  +  3  +  1

                     = 3 (3q² + 4q  + 1 ) + 1

                     =  3m  +  1   ,  য’ত  m= 3q²  + 4q  +  1

গতিকে , কোনো  যোগাত্মক অখণ্ড  সংখ্যাৰ বৰ্গফলৰ  আৰ্হি 3m  , বা  3m +  1  আৰ্হিৰ  য,ত  m  কোনোবা  এটা  অখণ্ড  সংখ্যা ৷

(5) ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ কৰি  দেখুওৱা  যে  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড সংখ্যাৰ  ঘনফলটো 9m  ,  9m  +  1   নাইবা  9m +  8  আৰ্হিৰ  ৷

সমাধান :       ধৰাহ’ল , a   এটা  যিকোনো  যোগাত্মক  অখণ্ড  সংখ্যা  আৰু  b=3   

এতিয়া , ইউক্লিডৰ  বিভাজন  প্ৰমেয়িকা  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাওঁ –

a= 3q  +  r   ,   য’ত  0 ≤ r < 3  ,  q  অখণ্ড  সংখ্যা   

∴   r =  0 , 1 , 2

এতিয়া  ,  a=3q +  0  =  3q 

বা a = 3q  +  1 

বা a = 3q +  2 

গতিকে , যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলৰ  প্ৰকাশ ৰাশি হ’ব –

(a)²=  (3q)³

              ⁼ 27q³

                ⁼    9( 3q³)

          = 9m ,  য’ত  m = 3q³

(a)³ =(3q +1)³

       = (3q)³  + 3 .(3q)². 1. + 3. 3q .(1)² +   (1)³

   = 27q³  +  27q² +  9q  + 1

       =   9(3q³  + 3q + q ) + 1  

       =  9m  +  1  ,   য’ত  m =  3q³  +  3q  +  1

আৰু  (a)³ = ( 3q  + 2 )³

                    =  (3q)³ +  3. (3q)²  . 2  + 3.3q.(2)² +  (2)³

                    =  27q³  + 54 q²   +  36q  +  8

                    = 9(3q³ + 6q² +  4q) +  8

                     = 9m  +  8  ,  য’ত  m= 3q³ + 6q + 2q

গতিকে , কোনো  যোগাত্মক অখণ্ড  সংখ্যাৰ ঘনফলৰ  আৰ্হি 9m  ,  9m +  1 বা 9m + 8 আৰ্হিৰ  য,ত  m  কোনোবা  এটা  অখণ্ড  সংখ্যা ৷

(6) হিমাদ্ৰীয়ে 625 টা ভাৰতীয়  আৰু 325 টা আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাকটিকট সংগ্ৰহ কৰিলে ৷ তাই এইবোৰ এক বিশেষ থূপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিবলৈ বিচাৰে যাতে এটাও ডাকটিকট ৰৈ নাযায় ৷ হিমাদ্ৰীয়ে সৰ্বাধিক কিমানটা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব ? 

সমাধান:  

ইয়াত , 

ভাৰতীয় টিকটৰ সংখ্যা = 625 টা , 

আন্তঃৰাষ্ট্ৰীয় ডাকটিকটৰ সংখ্যা = 325 টা 

যিহেতু, তাই এইবোৰ এক বিশেষ থূপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিবলৈ বিচাৰে যাতে এটাও ডাকটিকট ৰৈ নাযায় ৷ গতিকে দুয়োটা টিকটৰ সংখ্যাৰ পৰা গ.সা.উ. নিৰ্ণয় কৰিব লাগিব ৷ 

যিহেতু , 625 > 325

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

625 =  325 x 1 + 300

325 = 300 x 1 + 25 

300 = 25 x 12 + 0

যিহেতু , তৃতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 625, 325) =  25 টা ৷

গতিকে, হিমাদ্ৰীয়ে সৰ্বাধিক 25 টা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব ৷ 

(7) দুডাল ৰছীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছে.মি. আৰু 80 ছে.মি. ৷ দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে ৷ অকণো ৰৈ নোযোৱাকৈ দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰা তেনে টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ'ব ?    

সমাধান: 

ইয়াত, দুডাল ৰছীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছে.মি. আৰু 80 ছে.মি. ৷ যিহেতু , দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে আৰু অকণো ৰৈ যাব নালাগে ৷ ৰছীৰ দুয়োটা দৈৰ্ঘ্যৰ পৰা গ.সা.উ. নিৰ্ণয় কৰিব লাগিব ৷ 

যিহেতু , 80 > 64

এতিয়া ,  ইউক্লিডৰ  কলনবিধি  ব্যৱহাৰ  কৰি  পাঁও –

80 =  64 x 1 + 16

64 = 16 x 4 + 0 

যিহেতু , দ্বিতীয়  সোপানত  ভাগশেষ  0  ৷  গতিকে  গ.সা.উ. ( 80, 64) =  16 ছে.মি. ৷

English Medium Solution: